浮点数表示

二进制小数怎样表示？

• 形式: $b_m\cdots b_0.b_{-1}\cdots b_{-n}$;
• 数值:

$b=\sum_{i=-n}^{m}2^i\times b_i$

• 局限: 只能精确表示 $1/2$ 的幂的组合, 因此大量十进制小数无法精确表示;

IEEE 754 用哪些字段表示一个浮点数？

• 编码形式:

$V=(-1)^s\times M\times 2^E$

• 符号位 $s$: 决定正负;
• 尾数 $M$: 一个二进制小数, 决定有效数字;
• 阶码 $E$: 对尾数加权, 决定数量级;

单精度和双精度如何划分字段？

格式	总位数	符号位	阶码位	尾数位
单精度	32	1	8	23
双精度	64	1	11	52

• 偏置量: 阶码有 $n$ 位时 $\text{Bias}=2^{n-1}-1$, 单精度为 127, 双精度为 1023;
• 阶码字段存放的是 $\text{Bias}$ 与真实阶码之和;

阶码和尾数的取值怎样决定数值含义？

阶码	尾数	含义
全 0	全 0	零
全 0	非 0	非规格化数, $E=1-\text{Bias}$
其他	任意	规格化数, $E=e-\text{Bias}$, $M=1.f$
全 1	全 0	无穷大
全 1	非 0	NaN

• 规格化数: 尾数隐含前导 1, 即 $1.xxx$ 形式;
• 非规格化数: 尾数不带隐含的 1, 用于从最小规格化数平滑过渡到 0;

非负浮点数的取值边界是多少？

类型	值	单精度	双精度
零	$0$	$0.0$	$0.0$
最小非规格化数	$2^{-23}\times2^{-126}$	$1.4\times10^{-45}$	$4.9\times10^{-324}$
最大非规格化数	$(1-\epsilon)\times2^{-126}$	$1.2\times10^{-38}$	$2.2\times10^{-308}$
最小规格化数	$1\times2^{-126}$	$1.2\times10^{-38}$	$2.2\times10^{-308}$
最大规格化数	$(2-\epsilon)\times2^{127}$	$3.4\times10^{38}$	$1.8\times10^{308}$
无穷大	$\infty$	—	—

十进制浮点数怎样转成 IEEE 754 单精度？

1. 把十进制数转成二进制小数;
2. 规格化为 $1.xxx\times2^n$ 的形式;
3. 取小数部分左对齐并补 0, 得到 23 位尾数;
4. 阶码 $n$ 加上偏置量 127, 写成 8 位二进制;
5. 加上符号位;

例: 176.0625 的单精度表示
1) 转二进制: 176.0625 = 10110000.0001
2) 规格化:   1.01100000001 × 2^7
3) 尾数:     01100000001000000000000
4) 阶码:     7 + 127 = 134 = 10000110
5) 符号位:   0
结果: 0 10000110 01100000001000000000000

浮点数怎样舍入？

• 前提: 尾数位有限, 多数实数无法精确表示;
• 目标: 在可表示的数里找最接近的一个;
• 结果: 误差无法消除, 只能控制量级;
• 后果: 舍入使浮点运算不再满足结合律, 改变运算顺序会改变结果;

为什么浮点运算不精确？

• 机制: 每次运算的结果都要舍入到可表示值;

$x\odot y=\text{Round}(x\odot y)$

• 解释: 运算结果是精确结果的舍入值, 误差会随运算次数累积;