极坐标系

二维极坐标空间

使用二维极坐标定位点

定位点

• $(r,\theta)$

角度

• 以 x 正方向为起始方向；
• 逆时针旋转为正方向；

别名

别名

• 同一个点可以使用无限多个极坐标描述；

r 的取值范围

• $[-\infty, \infty]$；
• 当 r < 0 时被认为向后移动；

角度的取值范围

• $[-\infty, \infty]$；

规范坐标

• 一个点首选的极坐标描述方式；

转换方法

笛卡尔坐标和极坐标的转换

笛卡尔坐标和极坐标的转换

• 其中角度需要修正；

$x=r\cos\theta \qquad y = r\sin\theta$ $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ $\theta = \arctan(\frac{y}{x})$

三维极坐标空间

圆柱坐标

圆柱坐标

• $(r,\theta, z)$；

球面坐标

球面坐标

• 右手坐标系；
• $(r, \theta, \phi)$；
• 依次为距离，方位角，天顶角；

方位角

• 起始方向对应于 +x；
• +y 的右手坐标系为正方向；

天顶角

• 起始方向对应于 +z；
• +x 的右手坐标系为正方向；

图形学中球面坐标的转换

原因

• 左手坐标系和右手坐标系的差异；

图形学中球面坐标的转换

• 水平角度重命名为 h；
  • 起始方向对应于 +z；
  • +y 的左手坐标系为正方向；
• 垂直角度重命名为 p；
  • 起始方向对应于 +x；
  • +x 的左手坐标系为正方向；

球面坐标的别名

规范坐标

转换方法

笛卡尔坐标和极坐标的转换

右手坐标系

$x=r\sin\phi\cos\theta \qquad y = r\sin\phi\sin\theta \qquad z=r\cos\phi$

左手坐标系

$x=r\cos p\sin h \qquad y=-r\sin p \qquad z=r\cos p\cos h$ $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ $h=atan2(x,z)$ $p=\arcsin(\frac{-y}{r})$

使用极坐标指定向量

使用极坐标指定向量

• 等效于笛卡尔坐标系；